Paul Hindemiths Witwe und Erbin Gertrud Hindemith bestimmte in ihrem Testament vom 4. Dezember 1966: «Unser gesamtes Erbe soll zu einer Hindemith-Stiftung umgewandelt werden.» Mit der Gründung der Stiftung beauftragte sie einen Kreis von zwölf Freunden.
Gertrud Hindemith verstarb am 13. März 1967 zu Vevey (Kanton Waadt). Die in ihrem Testament benannten Freunde versammelten sich am 10. und 11. Dezember 1967 in Vevey, wählten aus ihrer Mitte einen fünfköpfigen Stiftungsrat und bestimmten Blonay zum Sitz der Stiftung.
Der erste Stiftungsrat bestand aus den folgenden Mitgliedern:
Dr. Arno Volk, Präsident (Mainz) Dr. Karl-Herbert Schober, Vizepräsident (Brüssel/Wien) Marius Décombaz (Vevey) Prof. Philipp Mohler (Frankfurt) Prof. Dr. Heinrich Straumann (Zürich)
Die Gründungsurkunde wurde am 10. Juni 1968 von den Mitgliedern des Stiftungsrats unterzeichnet, und die Satzung erlangte Rechtskraft mit der am 8. Juli 1968 erfolgten Eintragung der Stiftung in das Schweizerische Handelsregister, Büro Vevey. Die Stiftung ist vom Eidgenössischen Département des Inneren mit Beschluss vom 9. August 1968 anerkannt und der Aufsicht des Bundes unterstellt worden.
Von 1986 bis 1998 war Dr. Andres Briner Präsident des Stiftungsrates. Ihm folgte von 1999 bis 2022 Prof. Dr. Andreas Eckhardt. 2023 übernahm Prof. Tabea Zimmermann die Präsidentschaft.
